El producto interno.
Motivación Geométrica.
Consideremos 2 vectores en el espacio euclídeo A y B, y el producto interno definido
A . B = A B cos O
Donde O = ángulo que forman, graficamente:
A cos O representa la proyeccion escalar de A sobre el vector B
Se puede demostrar que en R3 es equivalente al producto matricial:
Bx
A.B = [Ax Ay Az] By = AxBx + AyBy + AzBz
Bz
A veces se suele notar el producto interno entre 2 vectores v y w, como
Si consideramos dos vectores v y w en R3, w =1 (unitario) y el subespacio W (de dimensión en 1) generado por w, es decir W = {k*w}
Se puede demostrar que el vector
p = <v,w>*w
que es la proyección de v sobre w, es la mejor representación de v en W. Es decir no existe otro elemento en W que aproxime mejor a v.
Al estudiar el producto interno en el espacio euclídeo (recta, plano y espacio), los matemáticos indentificaron cuales eran las mínimas propiedades necesarias para demostrar todos los teoremas y asi generalizaron el concepto del producto interno a espacios mas abstractos, como los espacios de funciones. Finalmente se abstraen de la fórmula del producto interno, y formalmente, se define como una aplicación de VxV en K: (V es el espacio Vectorial y K es el cuerpo sobre el que esta definido. )
<.,.> VxV -> K
Ahora <.,.> tiene que cumplir:
<ax + by,z> = a<x,z> + b<y,z> (linearidad)
<x,y> = conj <y,x> (hermeticidad)
<x,y>=0 y <x,y>=0 <=> x=0 (definida positiva)
Es decir cualquier aplicación que cumpla esas condiciones es un producto interno, y son válidas todas las afirmaciones que se demostraron para Rn
Es facil demostrar que A.B = AxBx + AyBy + AzBz es un producto interno en R3, lo mismo que A.B = A1B1 + A2B2 + ....+AnBn tambien es un producto interno en Rn
(es el primer ejercicio que se ve en álgebra luego de definir el producto interno)
Usualmente esta definición abstracta de producto interno es el punto de partida del cual se deducen todas las demas propiedades. Por ejemplo, el angulo entre 2 vectores, se define a partir del producto interno como
cos O = <v,w>/(v w )
Esto permite definir un ángulo para vectores en especios vectoriales no tan convencionales como Rn. La verdad que la gracia de tanta abstracción se aprecia cuando se trabajan con otro tipo de espacios, como los espacios de funciones, donde un vector es una función, y gracias a estas abstracciones se puede definir el “ángulo” entre 2 funciones.
Bases.
De algebra lineal sabemos que todo vector se puede expresar como una combinación lineal de elementos de la base. Esa combinación es única, y sus coeficientes se llaman coordenadas.
Ahora, si la base es ortonormal, o sea si los vectores son ortogonales entre si, y unitarios, se cumple que :
B = { b1,b2...bn} Base ortonormal
v = <v,b1>b1 + <v,b2>b2 +...+ <v,bn>bn
Demostración. (resumida, para ver la idea)
por ser B base
v = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn
lo que queremos probar es que
vk = <v,bk>para todo k
<v,bk>= <sum>x las prop de linealidad de <> para la suma y para el producto:
= sum ai <bi,bk>= ak porque <bi,bk>= 0 si i==k, o =1 si i=k
como queriamos probar,
Quería demostrar este teorema para hacer hincapie en que sólo se usa la definición del producto interno y la ortonormalidad de la base, y no la fórmula concreta para calcularlo.
Esta ecuación a la conoce tambien como expansión de Fourier, por algo que despues vemos.
Ahora, si consideramos la matriz T = [b1,b2,...bn], es decir cada columna de la matriz es un vector de la base, se puede demostrar que T es otorgonal, y la transformación lineal definida por T se llama ortogonal tambien.
Si escribimos
|b11 b21 bn1| |<v,b1>|
v*T = (v1,v2...vn)* |b12 b22 bn2| = |<v,b2>|
......................
|b1n b2n bnn| |<v,vn>|
o sea al mutiplicar un vector por la matriz T, que resulta de poner en cada columna un vector de la base ortonormal, se obtienen las coordenadas de v en la base B (Eso se suele notar como (v)B = v*T )
Nota: La coordenada i-esima es la proyección del vector sobre el vector i-esimo de la base.
Upgrade 2010:
En los graficos por computadora, es usual tener que transformar un punto del espacio real 3d (usualmente llamado world space) , al espacio del observador (usualmente llamado view space)
La función D3DXMatrixLookAtLH del DirectX calcula una matriz de vista, que luego se aplica a los puntos para transformarlos de world space al view space, en un proceso que se llama View Transform, en la jerga del DirectX
Esa matriz llamada View, esta compuesta por los vectores de una base ortonormal definidos por la direccion a la cual el observador esta mirando. El View Transform del pipeline del DirectX no es otra cosa que aplicar la expansion de Fourier en esa base a cada punto o vértice.
Usualmente se trabaja en en R4, para poder aplicar las traslaciones como multiplicación de matrices en la misma transformación. (Pero eso es tema del proximo post)
D3DXMATRIXA16 matView;
// posicion del punto de vista
D3DXVECTOR3 vEyePt(100,50,200);
// posicion a la que estoy mirando
D3DXVECTOR3 vLookatPt(0,0,0);
// direccion arbitraria hacia arriba
D3DXVECTOR3 vUpVec(0,0,1);
// el DX usa esta funcion para generar la matriz T
D3DXMatrixLookAtLH( &matView, &vEyePt, &vLookatPt, &vUpVec );
// segun lo que vimos, necesitamos una base ortonormal, que vamos a
// construi asi :
D3DXVECTOR3 vX,vY,vZ;
// la direccion Z es la direccion a la que estamos mirando
vZ = vLookatPt - vEyePt;
// la direccion X tiene que ser perpendicular a la direccion Z
// (el cross producto A = BxC devuelve un vector perpendicular a B y C,
// para eso necesitamos el vector UP, para poder generar un vector perpendicular
D3DXVec3Cross(&vX,&vUpVec,&vZ);
// pero la direccion UP, era aproximada, la real la generamos otra vez con
// el cross producto, Y es un vector perpendicular tanto a X, como Z
D3DXVec3Cross(&vY,&vZ,&vX);
// Hasta aca tenemos vX,vY,vZ todos perpendiculares entre si.
// nota: 3 vectores ortogonales son una base de R3
// Normalizamos
D3DXVec3Normalize(&vX,&vX);
D3DXVec3Normalize(&vY,&vY);
D3DXVec3Normalize(&vZ,&vZ);
// Ahora
// B = {vX,vY,vZ} = Base ortonormal de R3
// La matriz T = [vX vY vZ] es un aplicacion ortogonal
// Verificacion las columnas de T son los vectores de la Base
D3DXMATRIX T;
// vX vY vZ vW
T._11 = vX.x , T._12 = vY.x, T._13 = vZ.x, T._14=0;
T._21 = vX.y , T._22 = vY.y, T._23 = vZ.y, T._24=0;
T._31 = vX.z , T._32 = vY.z, T._33 = vZ.z, T._34=0;
T._41 = 0 , T._42 = 0, T._43 = 0, T._44=1;
// Hasta aca tenemos la parte de la matriz 3x3. Lo que falta para completar
// la matriz del DirectX que es de 4x4 es la translacion
T._41 = -D3DXVec3Dot(&vEyePt,&vX);
T._42 = -D3DXVec3Dot(&vEyePt,&vY);
T._43 = -D3DXVec3Dot(&vEyePt,&vZ);
// esto tambien se prodria haber hecho asi:
// | 1 0 0 0 |
// | 0 1 0 0 | x T
// | 0 0 1 0 |
// | -tx -ty -tz 1 |
// Trans = matriz de traslacion para origen al punto de vista.
// Entonces primero aplico la traslacion y luego el cambio de coordenadas
// pp dicho
//D3DXMATRIX Tras;
//D3DXMatrixIdentity(&Tras);
//Tras._41 = -vEyePt.x , Tras._42 = -vEyePt.y, Tras._43 = -vEyePt.z;
//D3DXMatrixMultiply(&T,&Tras,&T);
// La matriz T y la matView son iguales
Como decía anteriormente, la gracia de partir de una definición tan abastracta del producto interno radica en aplicarla a espacios no convencionales. Un buen ejemplo es el espacios de las funciones. Se puede demostrar facilmente que las funciones con las operaciones de suma y producto triviales (sumar funciones y multplicar una función por un numero), son un espacio vectorial.
Si pensamos una funcion como un vector de infinitas componentes, donde cada componente es el valor de la funcion en un punto, resulta intuitivo, que la sumatoria que define el producto interno habitual entre 2 vectores de dimensiones finitas, se transforma en una integral, lo que motiva a definir el producto interno entre 2 funciones como la integral del producto sobre el intervalo.
b
a
se puede demostrar que el conjunto de las funciones continuas acotadas en el intervalo [a,b], es un esp. vectorial y
Con algunas condiciones más, las series de senos y cosenos típica de la forma de Fourier se basan en expresar una vector como una combinación lineal de elementos de la base, y en las propiedades de ortogonalidad
Nota: más tecnicamente se requiere un espacio de Hilbert, es un poco mas que un espacio vectorial.
El producto interno es una integral pero con algunas constantes para que cumpla las condiciones del producto interno, por ejemplo definida entre –pi y pi, la funcion tiene que ser cuadrado integrable etc etc) todas cosas que no vienen al caso en este contexto.
Como la base es infinita, si uno toma solo un cantidad finita de funciones (o elementos de la base), la serie se transforma en una suma, y la función resultante es una “proyección” de la función original en el sub-espacio generado por la base finita, y como habiamos dicho es la mejor aproximación que se puede obtener de esa función en dicha base. Es decir podemos ver a la suma de Fourier como una proyección en un espacio de dimension n, de la funcion real que vive en un espacio de dimension infinita.
Existen otras bases de espacios de funciones, como los polinomios ortogonales y que tienen propiedades similares a las de Fourier, usualmente se ven en la materia optativa de ecuaciones diferenciales de 3ero.
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