El Plano Proyectivo

Consideremos un punto P=(1,0) en el plano, la recta real en y=0, y un círculo que pasa por el origen y por P.

Graficamente:



Para cada punto de la recta real , se puede trazar una recta hasta el punto P, que intersecta al círculo en un único punto. Esta es la demostración standard, que el intervalo abierto (-1,1) tiene la misma cantidad de puntos que la recta real. Primero se demuesta que el intervalo (-1,1) se deforma hasta formar una circunferencia a la que le falta un punto (por eso el intervalo es abierto y no cerrado). Luego, la recta que une los puntos de la circunferencia con la recta real, define una función biyectiva que es lo que se necesita para probar que ámbos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos.

La función se puede escribir como
(1) x1 = x1p / h
para todo x1p que pertenece a la circunferencia, salvo el punto p = (1,0), que es donde h=0 y el cociente no existe.

El hecho que la circunferencia tenga un punto menos que la recta real, a los efectos de la cardinalidad no tiene importancia, y se demuestra facilmente que un número finito o infinito numerable de elementos no modifica la cardinalidad de un conjunto infinito.
Sin embargo si genera una diferencia importante en el aspecto topológico, la recta real es equivalente a la circunferencia a la que le falta un punto, no la circunferencia completa.

Interpretación.
Si queremos representar en la recta real todos los ángulos posibles, o sea todas las rectas que pasan por P, nos estaría faltando una recta, que es la paralela a la recta real. Si se agrega el punto que falta en la circunferencia y se lo relaciona con dicha recta, (intuitivamente seríaa agregar el punto del infinito), podemos establecer que el conjunto de la recta real unión el punto del infinito es topologicamente una circunferencia completa.
A este conjunto se lo llama la recta proyectiva, porque esta compuesto de todas las rectas que pasan por un punto, o dicho de otra manera, por la recta real más el punto del infinito.
Los 2 puntos en el infinito se toman como el mismo punto en realidad, ya que corresponden a una sola recta, la dimensión de los puntos del infinito es cero, mientras que la dimensión de la recta es 1.


Plano proyectivo.
Pasando a 2 dimensiones, y con el mismo esquema de demostración, se tiene que el plano es equivalente a una esfera (superficie, usualmente se llama S2) a la que le falta un punto, o tambien, a una semiesfera abierta (que no incluye el borde). La frontera (el ecuador) esta relacionada con los puntos en el infinito. Se puede definir al plano proyectivo como el conjunto de todas los puntos del plano más los puntos en el infinito. En este caso los puntos del infinito son equivalentes a toda una circunferencia, y su dimensión es 1 , mientras que el plano tiene dimensión 2. De esta forma se puede definir recursivamente para un hiperplano:
El espacio proyectivo, se define de la misma manera, y los puntos del infinito son un plano y asi sucesivamente.


Coordenadas Homogeneas.
Para describir un punto en la recta proyectiva si bien se podría usar un sólo elemento ya que su dimensión es 1, (el agregarle un punto no cambia la dimensión del espacio), usualmente se usan 2 elementos, relacionados por la formula (1), que la escribimos de nuevo:

(1) x1 = x1p / h

Q = (x1p,h) cada elemento del plano proyectivo se representa por 2 coordenadas, pero que no son independientes si no que estan relacionadas por la fórmula (1).

Esto llevado al plano proyectivo, y usando la noticion habitual, se tiene
Q = (xp,yp,w)
donde x = xp/w y y=yp/w y (w!=0)

Esta forma de notación se llama coordeandas homogeneas o w-homogeneas. Se interpreta que el punto esta siendo proyectado en el plano w=w0, usualmente para puntos en el plano se utiliza w=1, con lo cual se tiene:
Q = (xp,yp,1)

Y tiene la ventaja que es posible escribir los puntos en el infinito, que estan asociados a w=0,
Q = (xp,yp,0)

Siempre se hace énfasis en que xp/0 no existe, y que no se tiene que tomar como una división que da infinito. Uno intuitivamente interpreta que xp/0 es un símbolo que representa un punto en el infinito y no una operación de división.

Algunas consecuencias de esta notación son
- cada punto tiene infinitas representaciones,
- que se puede escribir los puntos del infinito.
- 2 rectas siempre se cortan en un punto.

Estas coordeandas fueron introducidas por Möebius hace como 200 años pero se usan hoy en dia en la mayor parte de las librerias gráficas.

Que esta estudiando Möebius y que tiene que ver con el plano proyectivo?

Imaginen que queremos representar todas las rectas que pasan por un punto P en el espacio, (ese conjunto es el plano proyectivo claro). La forma mas facil es ubicar el punto P en el centro de una esfera (superficie), y las rectas que pasan por el centro, intersectadas con la esfera generan 2 puntos: p1,p2
Sin embaro, no hace falta usar 2 puntos, si no que con uno solo ya alcanza, porque la recta siempre pasa por el origen, con lo cual con una semiesfera es suficiente:
Todas las rectas están representandas por un punto en el interior de la semiesfera S, salvo (las del infinito) que van a estar representadas por 2 puntos en la frontera de S, o sea en el ecuador. Si arbitrariamente tomamos uno de los 2 puntos, (no hacen falta los 2), y si tomamos una recta que se va moviendo, siempre representada por un punto en S, cuando llega al ecuador (la frontera de S), súbitamente desaparece y re-aparece por el otro lado en la antípoda. (Eso en el momento que se hace invisible el primer extremo de la recta, a la vez que se hace visible el segundo, por el otro lado)



Como podemos “reorganizar” la superficie para que el movimiento de este punto virtual sea continuo?

Que pasa si intentamos “cocer “ la semiesfera S por el borde, uniendo cada par de antipodas? Bueno, eso no se puede hacer, intenten con una tela, o se puede demostrar con topología, (si se pudiese la esfera sin un punto seria equivalente a la que esta completa y eso no es cierto).

Möebius (o vaya a saber quien, la verdad que no lo se, pero me imagino que habra sido él), propuso lo siguiente:

Tomamos un punto p1 en el ecuador, y recortamos un entorno sobre el, y sobre su opuesto p2. Esas 2 superfices las unimos invertidas por el borde que antes era el ecuador , y con eso obtenemos un disco, el pto p1 = p2 = centro del disco, y con esa operación conectamos los puntos p1 y p2, y todo el entorno de ellos en el ecuador.
Lo quedo es esto:



Tomemos otro punto q1 en lo que quedo del ecuador, su opuesto q2, esta del otro lado, pero “opuesto”. Quiero conectar esos 2 puntos, (ya que son el mismo elemento), para ello tengo que doblar de un extremo y unir invirtiendo, lo que queda es una banda de Möebius, (que casualidad no? )




Ahora, la banda es una superficie no orientable: tiene una sola cara y un solo borde cerrado. Si el borde es una curva cerreda, es equivalente a una circunferencia. Si intentamos doblar y plegar la banda para que nos quede ese círculo no vamos a poder en 3 dimensiones, se necesitan 4 dimensiones para que la banda no se intersecte a si misma, pero eso no quiere decir que no se pueda imaginar. Sigan el borde de una banda de Möebius y van a verificar que es una curva cerrada, despues olvidense de la superficie, imaginense solo una curva cerrada y vean que se puede deformar hasta convertirse en una circunferencia.

Bueno, una vez que se tiene el círculo, ese borde corresponde a la frontera de los 2 entornos que habiamos retirado originalmente, y que unimos para formar un disco. Si pegamos ese disco en el borde, quedan conectados todos los puntos.
Con un poco de esfuerzo se puede demostrar que esta construcción respeta la "estructura" original (es un morfismo especial), si por ejemplo estudiamos el movimiento de una recta en la esfera original, representandola como el movimiento del punto en el plano proyectivo, el movimiento es continuo en ambos casos.

La banda de Möebius unida por el borde con un disco, se llama en topologia el plano proyectivo.